Pages

Wednesday, July 11, 2012

Wahrheit in der Mathematik

Ein Rückgriff ins Archiv des alten Alles ist Zahl Blogs und der erste Beitrag hier auf Blogger, der definitiv dem Namen des Blogs gerecht wird. 

Als ich noch Mathematik und Philosophie studiert habe, habe ich den folgenden Text geschrieben. Es ist ein ganz kurzer Anriss, was Wahrheit in der Mathematik bedeutet - also wirklich nur angerissen und für jemanden, der Mathematik kennt, aber bisher nicht ganz unten am Fundament gekratzt hat. 

Inzwischen ist das ein paar Jahr her, aber ich stelle fest: die Faszination ist immer noch da. Gödel rocks und Hilbert hat mehr denn je Recht: "Wir müssen wissen, wir werden wissen."



Seit der dank Hilbert und anderen überwundenen Krise in der Mathematik am Beginn des 20. Jahrhunderts, als man an sicher geglaubten Stellen der Mathematik auf unvorhergesehe Widersprüche stieß, hat sich die Mathematik um eine axiomatische Grundlegung bemüht. Das ist auch gelungen. Ein Satz wie 1+1=2 ist wahr - bezüglich eines festgelegten Axiomensystems und einer Reihe von erlaubten Schlussregeln. 

Das Axiomensystem klärt, was wir unter den an sich bedeutungsleeren Zeichen 1,+, = und 2 zu verstehen haben. Handelte es sich etwa bei "1" um Wassertropfen und das "+" steht für das Zusammenfließen und "=" 'das gleiche Ding', dann wäre etwa 1+1=1. Oder: steht 1 für 12 Stunden bzw. Uhr, dann wäre 1+1=12+12=24=0 (Uhr).

Axiomensysteme dienen also vor allem der Modellierung von Teilen der Welt - und sei es der gedanklichen Welt. Alle anderen Aussagen, sind also nur in Bezug auf ein Axiomensystem (Glaubenssystem?) richtig - oder falsch. Von mir aus gerne wahr statt richtig - eben immer auf ein Bezugssystem zu verstehen.

Axiome, die als "evidente Wahrheiten" verstanden werden, sind die Axiome der Logik.

Der Mathematiker Frege bezeichnete Wahrheiten auch als "das, was nicht anders gedacht werden kann". Wittgenstein sprach auf jeden Fall vom "Wesen 'Gestalt'", was ich sehr schön finde.

Ein solcher Satz ist etwa der Modus Ponens: <Wenn wir wissen, dass eine Aussage P gilt und wir wissen, dass die Aussage "Aus der Gültigkeit von P folgt die Gültigkeit von Q", dann wissen wir, dass die Aussage Q gilt.> Alles was hier in Spitzklammern steht, ist natürlich wieder eine Aussage, aber eben eine, deren Gültigkeit evident ist.

Problematischer ist etwa Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Entweder gilt P oder P gilt nicht. Da gibt es Philosophen, die das bezweifeln. Ich gehöre nicht dazu. Für mich ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten eine Sache, die nicht anders gedacht werden kann. Und damit wahr.

Ein anderer Gedanke, der sich aus den gleichen Überlegungen speist, ist derjenige, der sagt, dass alles wahr ist, was widerspruchsfrei ist.

Eine der wichtigsten Entdeckungen zur Mitte des letzten Jahrhunderts war die von Gödel: Es ist bei nur ein bißchen komplexeren Axiomensystemen (wichtigstes Beispiel: jedes, was die natürlichen Zahlen, also das Prinzip des Zählens beschreibt oder zu beschreiben fähig ist) prinzipiell unmöglich ihre Widerspruchsfreiheit nachzuweisen, was bei einfachen durchaus möglich ist.

Wir können nie beweisen, dass selbst die elementare Mathematik "wirklich" funktioniert. Aber selbstverständlich glauben wir daran. Die einzelnen Axiome sind derartig elementar und ihre Kombination völlig einsichtig.

Was schlimmer für die Mathematik ist, ist die Konsequenz der Gödelschen Arbeit, dass es Aussagen in jedem einer solchen Systeme gibt, die nie bewiesen oder widerlegt werden können, obwohl sie beispielsweise ganz einfach verständliche Aussagen über natürliche Zahlen sind. Nach der Art: es gibt eine Zahl mit einer bestimmten Eigenschaft (Beispiel Syrakus-Problem: falls die Zahl gerade ist, teile sie durch zwei, falls ungerade, multipliziere sie mit 3 und addiere 1, mache das gleiche mit dem Ergebnis und so fort. Aussage: es gibt eine Zahl, bei der man durch den Algorithmus nie zur 1 kommt. Bisher haben alle Zahlen zur 1 geführt. Aber es gibt ja unendlich viele.) Das Problem im Gegensatz zu den Axiomen, die wir ja im Grunde genommen auch "willkürlich" als wahr setzen ohne das zu beweisen: wir haben bei diesen Aussagen überhaupt keine Intuition über ihre Wahrheit und Falschheit. 
Post a Comment